《高等数学下》复习资料 P ( x0 , y0 ) 处偏导数存在是在该点处可微的必要非充分条 1、对于二元函数 z  f ( x, y ) 在点 件。 2、设 0 1 x 1 0 2 2 I  dx  f ( x, y )dy 0 0 y 1 f ( x, y ) dx 2dxdy 18 3、设 D : x  y 9, ，则 4、曲线积分 1 dy  ，交换积分次序后得 I  D  ( x  2 y)dx  (2 x  y)dy ，其中 L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)、(3,2)的三 L 角形 正向边界，该曲线积分=4   ( 1) 5、级数 n 1 1 n 的敛散性为条件收敛。 ln( x  e y ) lim 6、 n ( x , y )  (1.0) 2 x y 2  ln 2 。 y 7、设 z  x ，求 dz  yx y 1 9 在点(1,1,1)处的切线方程 dx  x y ln xdy 。 x 1 y 1 z 1   1 2 3 。 ( 2, 6,  1) 。 10.数 u  xy z 在点 (1,  1, 2) 处的梯度 3 11. 设  ,  为有向曲线弧 L 在点 ( x, y ) 处的切向量的方向角，则平面曲线 L 上的两类曲线积 分的关系 Pdx  Qdy ( ________________)ds 。答案： P cos   Q cos  L L 2 2 2 12. 求曲面 x  y  z 14 上平行于平面 x  2 y  3 z 20 的切平面方程。 2 2 2 解：令 F ( x, y, z )  x  y  z  14 ， Fx ( x0 , y0 , z0 ) 2 x0 , Fy ( x0 , y0 , z0 ) 2 y0 , Fz ( x0 , y0 , z0 ) 2 z0  P ( x , y , z ) n ( x0 , y0 , z0 ) 0 0 0 在点 处的法向量为 令 x0 y0 z0   k 2 2 2 1 2 3 ，代入方程 x  y  z 14 中可得 k 1 第1页 共 3页 在点（1，2，3）处的切平面为 x  2 y  3 z 14 在点（-1，-2，-3）处的切平面为 x  2 y  3 z  14 0 2 z 2 2 13. 、设 z  f ( x  y , xy ), ，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求 xy 。 z 2 xf1 yf 2 解： x (3分) 。 2 z  4 xyf11  2 x 2 f12  f 2  2 y 2 f 21  xyf 22 xy  f 2  4 xyf11  2( x 2  y 2 ) f122  xyf 22 4 (3令 ) (2令 ) 2 14.求函数 z x  4 xy  2 y 的极值。 z x 4 x3  4 y 0, z y  4 x  4 y 0 解： 求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，- 1）。 A  z xx 12 x 2 , B  z xy  4, C z yy 4 2 ，在点（0，0）处 AC  B  16  0 没有极 2 值，在点（1，1）和（-1，-1）处 AC  B 32  0, A  0 ，所以有极小值 z (1, 1)  1. 15. 计算 I | x  y  1|dxdy ，其中 D [0,1] [0,1] 。 D 解： I | x  y  1|dxdy ( x  y  1)dxdy  D 4分 1 D1 1 x 1 (3令 ) ( x  y  1)dxdy D2 1 2分 1 1 1  dx ( x  y  1)dy  dx ( x  y  1)dy    6 6 3 0 0 0 1 x 4 16、把二次积分 4 解  dx  0 4 x  x2 0  dx  0 0 4 x  x2 ( x 2  y 2 )dy 3分  4cos ( x 2  y 2 )dy  2 d  0 化为极坐标形式，并计算积分值。 0 3分  3分 r 3dr  642 cos 4  d 12 ( x  2) n  n 17. 求幂级数 n 1 3 n 的收敛半径与收敛域。  第2页 共 3页 0 。 解： 3n n 1  n  1 n  3 n  1 3 ，所以收敛半径为 3，收敛区间为  3  x  2  3 ，即  1  x  5  lim    3n 1 ( 3) n ( 1) n    n   n  n 收敛，因此原级数的收 n 1 当 x 5 时 n 1 3 n n 1 n 发散，当 x  1 时 n 1 3 n  敛域为 [ 1,5) 。 18. 当 x→0 时，x2 是 x-1n(1+x)的同阶但不等价的无穷小量 19. 设函数 ƒ(sinx)=sin2 x，则 ƒˊ(x)等于 2x． 20. 若函数 ƒ(x)在点 x0 处有极值，且 ƒˊ(x0)存在，则必有 ƒˊ(x0)=0 21. 等于= 22. 函数 y=ex-x 在区间(-1，1)内有增有减． 等于=-F(x)F(x) 23. 24. 设 y=ƒ(x)二阶可导，且 ƒˊ(1)=0,ƒ″(1)>0，则 ƒ(1)是极小值 等于=1/3[ƒ(9)-ƒ(3)]ƒ(9)-ƒ(3)] 25. 26. 等于=2xy+1xy+1 27. 设事件 A，B 的 P(B)=0．5，P(AB)=0．4，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生 的条件概率 P(A | B)=0.8 等于=e-F(x)2xy+1 28. 29. 当 x→0 时，1-cos 戈与 xk 是同阶无穷小量，则 k= 2． 30. 设 y=in(x+cosx)，则 yˊ= 31. 。等于=6 第3页 共 3页 32. 33. 设 ƒ(x)的导函数是 sin 2x，则 ƒ(x)的全体原函数是______________． 34. 35. 曲线 y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为 x+y-e=0． 36. 等于=2π 37. 38. 39. 第4页 共 3页 40. 41. 第5页 共 3页