前言 PREFA CE 学而思网校为 6 ～ 18 岁的学生提供小学、初中、高中全学科课外学习课程。学而思网校 拥有十余年教学经验，采用在线双师直播教学模式，用 AI 技术来辅助教学。学而思网校课堂 互动多，线上课程有回放，教师及时答疑，学生不满意可随时退费。 2016 年 5 月，学而思网校提出“在线学习更有效”的品牌主张，并正式推出在线双师直 播教学模式，通过实时在线的互动教学、图文并茂的随堂讲义、科学的学业测评，以及教师 多方位的学习辅导，保障学生的学习效果。 2016 年 7 月， “IDO 个性化学习体系”正式上线，体系拥有动态学习报告、错题订正等功能， 为教师、学生和家长之间建立起更有效的沟通平台。2017 年 7 月，“IDO 个性化学习体系” 升级为“IDO 个性化学习体系 2.0”（简称“IDO2.0”）。“IDO2.0”拥有个性化学习任务系 统（IMS），并首次将人脸识别、语音识别、触感互动等技术引入在线课堂，让在线学习有更 多可被量化的数据和可追踪的学习轨迹，甚至有更多动手实践的机会。有效的科技手段逐渐 缩小了线上线下的学习体验差异。 2018 年，学而思网校课程体系全面升级，Amazing English、大语文、数学思维、大科学 等课程更注重对学生综合素质能力的培养。同时，学而思网校推出的故宫、音乐、魔方、儿 童安全、历史等素养类课程让学生可以多维、立体化成长。学而思网校自主研发的“AI 老师” 通过自然语言处理（NLP）、图像文字识别（OCR）等技术精准分析学生的语义、情感、笔迹等， 形成完整高效的“课堂学习链”，让在线课堂学习体验更美好，让教学更高效，学习更有效。 未来，学而思网校将进一步承担起用科技推动教育进步的重任，不断致力于教育资源的 均衡发展，实现从教到育、从学到习的全面提升。 学而思网校教研中心 目录 CONTENTS 第1讲 乘除法的简便运算进阶 第2讲 三角形初步 21 第3讲 三角形进阶 41 第4讲 从数数到计算 61 第5讲 解简易方程 79 第6讲 列方程解决问题（一） 97 第7讲 数列中的规律进阶 115 第8讲 数的整除初步 133 第9讲 跑多久能相遇 153 第 10 讲 跑多远能追上 171 阿丘学堂参考答案 1 189 第1讲 乘除法的简便运算进阶 第 1 讲 乘除法的简便 运算进阶 PART 1 乘法巧算 一、乘法直接凑整 思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。 例如：2 × 5 = 10， 4 × 25 = 100，8 × 125 = 1000， 5 × 20 = 100 理论依据：乘法交换律：a × b = b × a 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 二、乘法加补凑整 思想核心：先把接近整十、整百、整千的乘数凑整，然后再与前面的数利用乘法分配律拆开，使得运算简 便。例如： 23×99 = 23 × (100 − 1) = 23 × 100 − 23 × 1 = 2300 − 23 = 2277 23×101 = 23 × (100 + 1)（坐椅子类型） = 23 × 100 + 23 × 1 = 2300 + 23 = 2323 理论依据：乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c 三、乘法计算中的常用搭配 142857 × 7 = 999999(走马灯数) 12345679 × 9 = 111111111 (无 8 数，重点记忆) 7 × 11 × 13 = 1001(三个常用质数的乘积，重点记忆) 37 × 3 = 111(27 × 37 = 999) 2 四年级 / 数学 / 目标 S 班 / QG 例题 1 （1）计算：4 × 25 × 37 = ； （2）125 × 16 × 25 = 互动题 。 1 计算： （1）8 × 13 × 125 = （2）32 × 25 = ； 。 第 1 讲 乘除法的简便运算进阶 3 例题 2 （1）计算：457 × 99 = 。 （2）计算： 79 × 101 = ； 287 × 1001 = 互动题 。 2 计算： （1）45 × 99 = （2）68 × 101 = 4 ； 。 四年级 / 数学 / 目标 S 班 / QG PART 2 除法巧算 一、商不变性质 被除数和除数乘 (或除以) 同一个非零数，其商不变。即： a ÷ b = (a × n) ÷ (b × n) = (a ÷ m) ÷ (b ÷ m) m ̸= 0，n ̸= 0 二、带符号搬家 在乘、除混合运算中，因数或除数可以连同运算符号一起交换位置 (即带着符号搬家)。例如：a × b ÷ c = a÷c×b = b÷c×a 特殊的：在连除时，可以交换除数的位置，商不变。即：a ÷ b ÷ c = a ÷ c ÷ b 三、去掉或添加括号的规则 1. 去括号情形 ① 括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即 a × (b × c) = a × b × c a × (b ÷ c) = a × b ÷ c ② 括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”， “÷”变为“×” 。即 a ÷ (b × c) = a ÷ b ÷ c a ÷ (b ÷ c) = a ÷ b × c 2. 添加括号情形 加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”， “÷”变为“×” 。即 a × b × c = a × (b × c) a × b ÷ c = a × (b ÷ c) a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) a ÷ b × c = a ÷ (b ÷ c) 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即 (a × b) ÷ (c × d) = (a ÷ c) × (b ÷ d) = (a ÷ d) × (b ÷ c) 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。 四、乘除抵消 在乘除法混合运算中，如果可以通过拆数得到一些可以直接抵消的一定不要放弃！ 第 1 讲 乘除法的简便运算进阶 5 例题 3 计算： 23 × 70 × 22 ÷ 11 ÷ 7 = ； 111 × 4 ÷ 9 × 3 ÷ 74 × 2 = 互动题 3 计算：48 ÷ 74 ÷ 2 × 37 = 6 。 四年级 / 数学 / 目标 S 班 / QG 。 例题 4 1 ÷ (1 ÷ 2) ÷ (2 ÷ 3) ÷ (3 ÷ 5) ÷ (5 ÷ 8) ÷ · · · ÷ (55 ÷ 89) ÷ (89 ÷ 144) = 互动题 。 4 计算：1 ÷ (1 ÷ 2) ÷ (2 ÷ 3) ÷ (3 ÷ 4) ÷ (4 ÷ 5)。 第 1 讲 乘除法的简便运算进阶 7 笔 记 页 8 四年级 / 数学 / 目标 S 班 / QG 课堂巩固 1. 计算：25 × 125 × 96 = 。 2. 计算： （1）125 × 101； （2）299 × 4。 第 1 讲 乘除法的简便运算进阶 9 3. 计算：28 ÷ 34 × 17 ÷ 7 = 。 4. 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 ÷ (51 × 65 × 77) = 10 四年级 / 数学 / 目标 S 班 / QG 。 5. 1 ÷ (2 ÷ 3) ÷ (3 ÷ 4) ÷ (4 ÷ 5) ÷ (5 ÷ 6) ÷ (6 ÷ 7) ÷ (7 ÷ 8) = 。 第 1 讲 乘除法的简便运算进阶 11 阿丘学堂 练一练 1 计算：72 × 125 = 练一练 。 2 计算： （1）75 × 48； （2）73 × 8 × 125 ； （3）11 × 125 × 4 × 25 × 8 。 12 四年级 / 数学 / 目标 S 班 / QG 练一练 3 （1）计算：12 × 9 = （2）计算：12 × 99 = 练一练 ； 。 4 计算：12 × 1001 = 。 第 1 讲 乘除法的简便运算进阶 13 练一练 5 （1）864 × 99 × 125 = ； （2）75 × 624 × 1001 = 练一练 6 计算：368 × 999 = 14 。 。 四年级 / 数学 / 目标 S 班 / QG 练一练 7 计算：1234 × 9998 = 练一练 。 8 5000 ÷ 125 ÷ 8 = 。 第 1 讲 乘除法的简便运算进阶 15 练一练 9 计算： （1）2460 ÷ 5 ÷ 2 = （2）2560 ÷ (10 ÷ 4) = 练一练 ； 。 10 375000000 ÷ 125 ÷ 5 ÷ 25 ÷ 8 ÷ 4 ÷ 2 = 16 四年级 / 数学 / 目标 S 班 / QG 。